さぁ制作会社を探そうと思っても、非常にたくさんの会社があります。
大きく３つのグループに分類してみます。

広告代理店

企画・進行を中心に業務を行う会社です。
直接的な制作は外部の制作会社になりますが、その分、企画力は優れていると思います。

制作会社

企画・構成から制作まで社内で行います。
ディレクター・WEBデザイナー・HTMLコーダー等、複数のスタッフ間で連携して制作します。

個人事務所・SOHO・フリーランスのWEBデザイナー

全行程を一人で兼任します。
制作会社で一定のキャリアを積んでから、独立するデザイナーも多いです。

必ずしも制作会社に頼む必要はないと思います。
個人事務所・SOHOであってもいいと思います。※当事務所は個人事務所です。

価格で言えば、
個人事務所＜制作会社＜広告代理店
の順で個人事務所が一番安い傾向にあると思います。

制作実績は一つの判断基準

どの制作会社のホームページであっても、ホームページの制作実績を公開していますので、制作実績が一つの判断基準だと思います。また制作実績にあるホームページと全く同様に作った場合は幾らかかるかと言った聞き方をしてみてもいいと思います。

可能であれば顔合わせを

どういった内容かにもよりますが、3週間から大きなサイトになってくるとより長期間にわたって制作期間を必要とします。その間、制作会社の担当者とも頻繁に連絡を取り合うことになります。可能であれば顔合わせをしてどんな人が担当者なのか把握しておいてもいいと思います。